SKY填坑数学：穿透数列本质

数列是历年高考中考察的重点之一,在高考数学中即综合考察数列中各参量之间的关系以及恒等变形,又考察相关的数列思想方法及数学能力,所以SKY填坑数学强调在高考的复习中,学生一定要能通过复习,抓住数列的本质,灵活加以应用。那数列的本质是什么?SKY填坑数学分析新课表对数列的内容的整体定位是:数列作为一种特殊的函数,是反应自然规律的基本数学模型之一,在数列的学习中,通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种模型,探索并掌握他们的一些基本数量关系,并利用他们解决一些实际问题。那数列是如何体现为特殊的函数呢?

大家一定都非常熟悉等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d即an=nd+(a1-d),其中a1和d都是常数,an随着n的变化而变化,即an是一个关于n的一次函数,n是自变量,an是因变量。到这一步,大家有没有恍然大悟的感觉呢?与一次函数唯一不同的就是自变量的取值,n的取值是正整数,因此在图像上就表现为一个一个间断的点,而一次函数则是一条连续的直线,x的取值是连续的。

图(1) an=2n-1的图像

同理,等比数列的通项为an=a1*q^n-1,这是一个明显的指数函数,只不过图象是一个个孤立的点。

那我们认识了数列的本质是函数有什么用呢?我们可以看接下来这个题

拿到题目同学们肯定会想,要求前n项和,那我就带前n项公式,所以我要去找首项和公差,可是这个题目只给了一个一个条件,找得到这个首项和公差吗?自然是找不到。SKY填坑数学建议,这个时候我们就可以把这个数列设为常函数,即每一项都是相同的,即a1+a3+a5=3a1=3,所以a1=1,那前五项和不就是5倍a1,也就是5,秒选A答案。这样是不是很快呢?

除了看成常数列以外,依据函数的本质我们还能做什么呢?Sn的公式大家一定很熟悉

我们对这个式子做一下变形,把括号打开就可以得到

当d≠0时,Sn就是g关于n的二次函数,即

那这样的本质如何帮我们解题呢?最简单的秒杀题目就是已知Sn求an的题目,或者已知an求Sn的题目,当然这是最简单的用法。Sky填坑数学希望大家要重视历年各地高考真题的总结,并学会从中总结填坑模型,这样一看到相应的题目就能一秒识别题目里的坑,从而找到对应的填坑模型将其秒杀。